Richard William Wright nació el 28 de julio de 1945 en Londres, su padre era bioquímico en la Industrias Lácteas Unigate, creció en Hatch End al norte de Londres y fue educado en la escuela Haberdasher's Aske's.

Aprendió a tocar la guitarra el mismo a los 12 años, debido a una fractura en una pierna que lo dejo 2 meses en cama con una guitarra como única compañía, y tocaba además trompeta y piano, y tomó clases particulares de teoría musical y composición en la escuela de música Eric Gilder, pero todavía no decidido sobre su futuro se inscribió en la Regent Street Polytechnic en 1962. Allí conoció a otros miembros de la banda Roger Waters y Nick Mason, fue miembro fundador de The Pink Floyd Sound, como se llamaba en 1965, y participo también en sus encarnaciones anteriores, Sigma 6 y The Screaming Abdabs. Aunque Waters y Mason eran estudiantes competentes, Wright encontró la arquitectura de poco interés y después de sólo un año de estudio se trasladó al London College of Music.

En los primeros tiempos de Pink Floyd, Wright fue una fuerza musical prominente en el grupo, aunque no tanto como Syd Barrett quién era el principal compositor y líder, escribió y canto varias canciones de su autoría durante 1967-1968. Aunque no es reconocido como cantante en The Piper At The Gate Of Dawn, cantó junto a Barrett canciones como Astronomy Domine y Matilda Mother, así como las armonías en The Scarecrow y Chapter 24. Algunos ejemplos de sus primeras composiciones son Remember a Day, See-Saw, Paint Box y It Would Be So Nice. Como el sonido y los objetivos de la banda evolucionaron, Wright se volvió menos interesado en escribir canciones y se centro principalmente en contribuir con su estilo distintivo para ampliar las composiciones instrumentales como Cirrus Minor, Interstellar Overdrive, A Saucerful of Secrets, Careful With That Axe, Eugene, One Of These Days y los temas musicales de películas como More, Zabriskie Point y Obscured By Clouds. También hizo contribuciones esenciales a las largas y épicas composiciones de Pink Floyd como Atom Heart Mother, Echoes y Shine On You Crazy Diamond. Sus composiciones más populares son The Great Gig In The Sky y Us And Them del disco de 1973 The Dark Side Of The Moon.

Grabó su primer disco solista, Wet Dream, y fue lanzado en 1978 con un mínimo suceso comercial. Luchando por un lado con problemas personales y por el otro con una relación cada día más problemática con Roger Waters, se vio obligado a dejar Pink Floyd durante las sesiones de grabación de The Wall por Roger Waters, quien amenazó con retirar las cintas de grabación del álbum si Wirhgt no abandonaba la banda. Sin embargo fue contratado como músico de sesión a sueldo durante los conciertos en vivo que se hicieron en 1980 y 1981 para promocionar el disco. Irónicamente, Wright se convirtió en el único miembro de Pink Floyd en beneficiarse de esos sumamente espectaculares shows, ya que los otros tres miembros estables tuvieron que hacerse cargo de la pérdida financiera neta. Fue el único miembro de la banda en no asistir al estreno de la película The Wall en 1982. En 1983 Pink Floyd lanzo el álbum The Final Cut el cual es el único de la banda en el que no aparece Richard Wright.

En 1984 formó un dúo musical con Dave Harris llamado Zee. Firmaron un contrato con EMI Records y lanzó un solo álbum, Identity, que fue un fracaso tanto a nivel comercial como la opinión de la crítica. Trabajo como músico a sueldo junto a Pink Floyd luego de la salida de Roger Waters. Por problemas legales y contractuales durante la gira de The Wall, su foto no aparece en el disco A Momentary Lapse Of Reason y su nombre aparece con letras más pequeñas que Gilmour y Mason. En 1994, ya su reingreso a la banda era oficial, co-escribió cinco canciones y canto una de las canciones, Wearing The Inside Out, para el siguiente álbum de Pink Floyd, The Division Bell. Las grabaciones de los conciertos de Londres en octubre dieron el material para un disco doble y video, P.U.L.S.E., en 1995. Wright al igual que Mason participó en cada gira de Pink Floyd desde sus comienzos.

En 1996, inspirado por el suceso de The Division Bell, lanzó su segundo álbum solista Broken China, incluyendo la contribución de Sinéad O'Connor en voces, Pino Palladina en bajo, Manu Ketché en batería, Dominic Miller en guitarra y Tim Renwick, segunda guitarra de Pink Floyd en la gira de The Division Bell. Broken China marca una nueva fase en el patrón artístico y el estilo de Richard, con un uso extensivo de grabaciones basadas en computadoras y técnicas de producción, asistido por Anthony Moore, con quien co-escribió las letras del álbum.

El 2 de julio de 2005, Wright, Waters, Mason y Gilmour se unieron en el escenario por primera vez desde los conciertos de The Wall para una breve actuación en el concierto benéfico de Live 8 en Londres. En noviembre de 2005 fue operado de cataratas lo que le impidió asistir a la inclusión de Pink Floyd al Music Hall of Fame del Reino Unido.

Richard aportó los teclados y coros al disco solista de David Gilmour, On An Island, y realizo una gira por Europa y América del Norte en 2006. En el escenario con Gilmour toco el órgano Hammond, piano, piano eléctrico y su sintetizador Kurzweil K2600, incluso su por largo tiempo inactivo órgano Farfisa, que fue resucitado especialmente para tocar Echoes y un par de viejos temas de Pink Floyd y Syd Barrett que David optó por tocar en los conciertos. El también aporto la voz para unos cuantos temas de esta gira como Echoes, Time, Comfortably Numb, Wearing The Inside Out, Astronomy Domine y Arnold Layne.

Fallece en su casa el 15 de setiembre de 2008 a los 65 años, a causa de una forma de cáncer no revelada. En el momento de su muerte estaba trabajando en un nuevo álbum solista, que fue pensado para incluir una serie de piezas instrumentales.